МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ЗВІТ З лабораторної роботи №2 на тему: «МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ »  Львів-2015 Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Короткі теоретичні відомості: Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь Класичний метод Гаусса. Розглянемо систему рівнянь четвертого порядку:

(1) Зауважимо, що елементи вектора-стовпчика вільних членів
занесені в матрицю коефіцієнтів А. Будемо вважати, що
. З першого рівняння знаходимо х1:
, (2) де
,
. З допомогою рівняння (2) можна виключити
з решти рівнянь, для чого достатньо підставити (2) для
в друге, третє і четверте рівняння системи. Це і є першим кроком – кроком виключення невідомого
.

,
Перехід від початкової системи
до новоствореної
відбувається за такою формулою:


Другий крок – виключення невідомого
відбувається аналогічно:






Третій крок – виключення невідомого


,






;
Останнє рівняння можна переписати у вигляді:
або
. Отже, в результаті прямого ходу одержимо систему рівнянь:
Розглянемо систему лінійних рівнянь
(1) з невиродженою матрицею А розміру
. Більшу частину всього обчислювального процесу поглинає зведення матриці А до трикутного вигляду. Можливі дві форми розкладу (зведення) матриці А до трикутного вигляду – рядкова або стовпцева. Як ми вже знаємо, стовпцева форма розкладу зображується наступною обчислювальною схемою: Для
до
Для
до


(2) Для
до

Права частина
системи (1) також може оброблятися в ході зведення матриці А до трикутного вигляду. Тому можна
приєднати до і-го рядка (член
) – як ми й робили раніше (в такому випадку в циклі "k" верхня межа зростає до
). Можна
залишити на місці, не вносячи в масив А. В цьому випадку в результаті виконання прямого ходу методу Гаусса одержується система рівнянь:


(3) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

. Обернений хід при стовпчиковій формі розкладу описується загальною формулою:

,
(4) Розглянемо тепер рядкову форму розкладу матриці А. Вона базується на зведенні системи лінійних рівнянь до трикутного вигляду. Для цього спочатку нормують перше рівняння, ділячи його на а11(0), тобто роблять коефіцієнт при х1 рівним 1. Потім це перше рівняння домножують відповідно на коефіцієнт аі,1(0) при х1 всіх інших рівнянь і послідовно віднімають від усієї решти рівнянь. В результаті х1 буде виключене із всіх рівнянь, крім першого. На другому кроці виключають х2 з третього, четвертого, ..., п –го рівнянь. Цю процедуру повторюють до тих пір, доки вся система не буде зведена до такого трикутного вигляду
(5) Рядкова форма зображається наступною обчислювальною схемою: Для
до
Для
до

(6) Для
до

Тобто, на відміну від стовпчикової форми, обчислення коефіцієнтів нової матриці відбувається по рядках. Результат же одержується той самий. При (обертанні) обчисленні оберненої матриці доцільно використовувати розклад матриці А до трикутного вигляду за рядковою формою. Завдання Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.

Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій. Main – головна функція for – оператор циклу; ar[] – матриця коефіцієнтів x[] –матриця розв’язків if, else – умовний оператор БЛОК_СХЕМА початок 1 f(x) x1:=f
(x) ні k<3 k:=k+1 так ...